Dedy_Leony
Jumat, 21 Juni 2013
jurnal kalkulus berkaitan dengan ilmu biologi
JURNAL INTERNASIONAL
Limits and
infinitesimals
Calculus is usually developed by
working with very small quantities. Historically, the first method of doing so
was by infinitesimals. These are objects which can be
treated like numbers but which are, in some sense, "infinitely
small". An infinitesimal number dx could be greater than 0, but
less than any number in the sequence 1, 1/2, 1/3, ... and less than any
positive real number. Any integer multiple of an
infinitesimal is still infinitely small, i.e., infinitesimals do not satisfy
the Archimedean property. From this point of view, calculus is
a collection of techniques for manipulating infinitesimals. This approach fell
out of favor in the 19th century because it was difficult to make the notion of
an infinitesimal precise. However, the concept was revived in the 20th century
with the introduction of non-standard
analysis and smooth infinitesimal
analysis, which provided
solid foundations for the manipulation of infinitesimals.
In the 19th century, infinitesimals were replaced by limits. Limits describe the value of a function at a certain input in terms of its
values at nearby input. They capture small-scale behavior, just like
infinitesimals, but use the ordinary real number system. In this treatment, calculus is a collection of techniques
for manipulating certain limits. Infinitesimals get replaced by very small
numbers, and the infinitely small behavior of the function is found by taking
the limiting behavior for smaller and smaller numbers. Limits are the easiest
way to provide rigorous foundations for calculus, and for this reason they are
the standard approach.
Differential
calculus
Tangent
line at (x, f(x)). The derivative f′(x) of a curve at a point is the slope (rise over
run) of the line tangent to that curve at that point.
Differential calculus is the study of the definition,
properties, and applications of the derivative
of a function. The process of finding the derivative is called differentiation.
Given a function and a point in the domain, the derivative at that point is a
way of encoding the small-scale behavior of the function near that point. By
finding the derivative of a function at every point in its domain, it is
possible to produce a new function, called the derivative function or
just the derivative of the original function. In mathematical jargon,
the derivative is a linear operator
which inputs a function and outputs a second function. This is more abstract
than many of the processes studied in elementary algebra, where functions
usually input a number and output another number. For example, if the doubling
function is given the input three, then it outputs six, and if the squaring
function is given the input three, then it outputs nine. The derivative,
however, can take the squaring function as an input. This means that the
derivative takes all the information of the squaring function—such as that two
is sent to four, three is sent to nine, four is sent to sixteen, and so on—and
uses this information to produce another function. (The function it produces
turns out to be the doubling function.)
The most common symbol for a derivative is an apostrophe-like
mark called prime. Thus, the derivative of the function
of f is f′, pronounced "f prime." For
instance, if f(x) = x2 is the squaring
function, then f′(x) = 2x is its
derivative, the doubling function.
If the input of the function represents time, then the
derivative represents change with respect to time. For example, if f is
a function that takes a time as input and gives the position of a ball at that
time as output, then the derivative of f is how the position is changing
in time, that is, it is the velocity
of the ball.
If a function is linear
(that is, if the graph of the function is a straight line),
then the function can be written as y = mx + b, where x
is the independent variable, y is the dependent variable, b is
the y-intercept, and:
This gives an exact value for the slope of a straight line.
If the graph of the function is not a straight line, however, then the change
in y divided by the change in x varies. Derivatives give an exact
meaning to the notion of change in output with respect to change in input. To
be concrete, let f be a function, and fix a point a in the domain
of f. (a, f(a)) is a point on the graph of the
function. If h is a number close to zero, then a + h is a
number close to a. Therefore (a + h, f(a + h))
is close to (a, f(a)). The slope between these two points
is
This expression is called a difference quotient. A
line through two points on a curve is called a secant line, so m
is the slope of the secant line between (a, f(a)) and (a
+ h, f(a + h)). The secant line is only an
approximation to the behavior of the function at the point a because it
does not account for what happens between a and a + h. It
is not possible to discover the behavior at a by setting h to
zero because this would require dividing by zero, which is impossible. The
derivative is defined by taking the limit as h tends to zero, meaning that
it considers the behavior of f for all small values of h and
extracts a consistent value for the case when h equals zero:
Geometrically, the derivative is the slope of the tangent line
to the graph of f at a. The tangent line is a limit of secant
lines just as the derivative is a limit of difference quotients. For this
reason, the derivative is sometimes called the slope of the function f.
Here is a particular example, the derivative of the squaring
function at the input 3. Let f(x) = x2 be the
squaring function.
The
derivative f′(x) of a curve at a point is the
slope of the line tangent to that curve at that point. This slope is determined
by considering the limiting value of the slopes of secant lines. Here the
function involved (drawn in red) is f(x) = x3 −
x. The tangent line (in green) which passes through the point (−3/2,
−15/8) has a slope of 23/4. Note that the vertical and horizontal scales in
this image are different.
The slope of tangent line to the squaring function at the
point (3,9) is 6, that is to say, it is going up six times as fast as it is
going to the right. The limit process just described can be performed for any
point in the domain of the squaring function. This defines the derivative
function of the squaring function, or just the derivative of the
squaring function for short. A similar computation to the one above shows that
the derivative of the squaring function is the doubling function.
Leibniz
notation
Main
article: Leibniz's notation
A common notation, introduced by Leibniz, for the derivative
in the example above is
In an approach based on limits, the symbol dy/dx is
to be interpreted not as the quotient of two numbers but as a shorthand for the
limit computed above. Leibniz, however, did intend it to represent the quotient
of two infinitesimally small numbers, dy being the infinitesimally small
change in y caused by an infinitesimally small change dx applied
to x. We can also think of d/dx as a differentiation operator,
which takes a function as an input and gives another function, the derivative,
as the output. For example:
In this usage, the dx in the denominator is read as
"with respect to x". Even when calculus is developed using limits
rather than infinitesimals, it is common to manipulate symbols like dx
and dy as if they were real numbers; although it is possible to avoid
such manipulations, they are sometimes notationally convenient in expressing
operations such as the total derivative.
Integral
calculus
Main
article: Integral
Integral calculus is the study of the definitions,
properties, and applications of two related concepts, the indefinite
integral and the definite integral. The process of finding the value
of an integral is called integration. In technical language, integral
calculus studies two related linear operators.
The indefinite integral is the antiderivative, the inverse operation to the derivative. F is an
indefinite integral of f when f is a derivative of F.
(This use of lower- and upper-case letters for a function and its indefinite
integral is common in calculus.)
The definite integral inputs a function and outputs a
number, which gives the algebraic sum of areas between the graph of the input
and the x-axis.
The technical definition of the definite integral is the limit of a sum of areas of rectangles,
called a Riemann sum.
A motivating example is the distances traveled in a given
time.
If the speed is constant, only multiplication is needed, but
if the speed changes, then we need a more powerful method of finding the
distance. One such method is to approximate the distance traveled by breaking
up the time into many short intervals of time, then multiplying the time
elapsed in each interval by one of the speeds in that interval, and then taking
the sum (a Riemann sum) of the approximate distance traveled
in each interval. The basic idea is that if only a short time elapses, then the
speed will stay more or less the same. However, a Riemann sum only gives an
approximation of the distance traveled. We must take the limit of all such
Riemann sums to find the exact distance traveled.
Integration
can be thought of as measuring the area under a curve, defined by f(x),
between two points (here a and b).
If f(x) in the diagram on the left represents speed
as it varies over time, the distance traveled (between the times represented by
a and b) is the area of the shaded region s.
To approximate that area, an intuitive method would be to
divide up the distance between a and b into a number of equal
segments, the length of each segment represented by the symbol Δx. For
each small segment, we can choose one value of the function f(x).
Call that value h. Then the area of the rectangle with base Δx
and height h gives the distance (time Δx multiplied by speed h)
traveled in that segment. Associated with each segment is the average value of
the function above it, f(x)=h. The sum of all such rectangles gives an
approximation of the area between the axis and the curve, which is an
approximation of the total distance traveled. A smaller value for Δx
will give more rectangles and in most cases a better approximation, but for an
exact answer we need to take a limit as Δx approaches zero.
The symbol of integration is , an elongated S
(the S stands for "sum"). The definite integral is written as:
and is read "the integral from a to b of f-of-x
with respect to x." The Leibniz notation dx is intended to
suggest dividing the area under the curve into an infinite number of
rectangles, so that their width Δx becomes the infinitesimally small dx.
In a formulation of the calculus based on limits, the notation
is to be understood as an operator that takes a function as
an input and gives a number, the area, as an output. The terminating
differential, dx, is not a number, and is not being multiplied by f(x),
although, serving as a reminder of the Δx limit definition, it can be
treated as such in symbolic manipulations of the integral. Formally, the
differential indicates the variable over which the function is integrated and
serves as a closing bracket for the integration operator.
The indefinite integral, or antiderivative, is written:
Functions differing by only a constant have the same
derivative, and it can be shown that the antiderivative of a given function is
actually a family of functions differing only by a constant. Since the
derivative of the function y = x² + C, where C is
any constant, is y′ = 2x, the antiderivative of the
latter given by:
The unspecified constant C present in the indefinite
integral or antiderivative is known as the constant of
integration.
Fundamental
theorem
Main
article: Fundamental theorem
of calculus
The fundamental theorem
of calculus states that
differentiation and integration are inverse operations. More precisely, it
relates the values of antiderivatives to definite integrals. Because it is
usually easier to compute an antiderivative than to apply the definition of a
definite integral, the Fundamental Theorem of Calculus provides a practical way
of computing definite integrals. It can also be interpreted as a precise
statement of the fact that differentiation is the inverse of integration.
The Fundamental Theorem of Calculus states: If a function f
is continuous on the interval [a, b ]
and if F is a function whose derivative is f on the interval (a,
b ), then
Furthermore, for every x in the interval (a, b),
This realization, made by both Newton
and Leibniz, who based their results on earlier
work by Isaac Barrow, was key to the massive proliferation
of analytic results after their work became known. The fundamental theorem provides
an algebraic method of computing many definite integrals—without performing
limit processes—by finding formulas for antiderivatives.
It is also a prototype solution of a differential
equation. Differential
equations relate an unknown function to its derivatives, and are ubiquitous in
the sciences.
Applications
This
section does not cite any references or sources.
Please help improve this section by adding citations
to reliable sources.
Unsourced material may be challenged and removed. (April 2013)
|
The
logarithmic spiral of the Nautilus shell
is a classical image used to depict the growth and change related to calculus
Calculus is used in every branch of the physical sciences, actuarial science,
computer science, statistics, engineering, economics, business, medicine, demography,
and in other fields wherever a problem can be mathematically modeled and an optimal solution is desired. It allows one to
go from (non-constant) rates of change to the total change or vice versa, and
many times in studying a problem we know one and are trying to find the other.
Physics
makes particular use of calculus; all concepts in classical mechanics and electromagnetism
are interrelated through calculus. The mass of an object of known density,
the moment of inertia of objects, as well as the total
energy of an object within a conservative field can be found by the use of
calculus. An example of the use of calculus in mechanics is Newton's second law
of motion: historically stated
it expressly uses the term "rate of change" which refers to the
derivative saying The rate of
change of momentum of a body is equal to the resultant force acting
on the body and is in the same direction. Commonly expressed today as
Force = Mass × acceleration, it involves differential
calculus because acceleration is the time derivative of velocity or second time
derivative of trajectory or spatial position. Starting from knowing how an
object is accelerating, we use calculus to derive its path.
Maxwell's theory of electromagnetism
and Einstein's theory of general relativity are also expressed in the language of
differential calculus. Chemistry also uses calculus in determining reaction
rates and radioactive decay. In biology, population dynamics starts with
reproduction and death rates to model population changes.
Calculus can be used in conjunction with other mathematical
disciplines. For example, it can be used with linear algebra
to find the "best fit" linear approximation for a set of points in a
domain. Or it can be used in probability theory to determine the probability of a
continuous random variable from an assumed density function. In analytic geometry,
the study of graphs of functions, calculus is used to find high points and low
points (maxima and minima), slope, concavity
and inflection points.
Green's Theorem,
which gives the relationship between a line integral around a simple closed
curve C and a double integral over the plane region D bounded by C, is applied
in an instrument known as a planimeter,
which is used to calculate the area of a flat surface on a drawing. For
example, it can be used to calculate the amount of area taken up by an
irregularly shaped flower bed or swimming pool when designing the layout of a
piece of property.
Discrete
Green's Theorem, which gives the
relationship between a double integral of a function around a simple closed
rectangular curve C and a linear combination of the antiderivative's
values at corner points along the edge of the curve, allows fast calculation of
sums of values in rectangular domains. For example, it can be used to
efficiently calculate sums of rectangular domains in images, in order to
rapidly extract features and detect object - see also the summed area table
algorithm.
In the realm of medicine, calculus can be used to find the
optimal branching angle of a blood vessel so as to maximize flow. From the
decay laws for a particular drug's elimination from the body, it's used to
derive dosing laws. In nuclear medicine, it's used to build models of radiation
transport in targeted tumor therapies.
In economics, calculus allows for the determination of
maximal profit by providing a way to easily calculate both marginal cost
and marginal revenue.
Calculus is also used to find approximate solutions to
equations; in practice it's the standard way to solve differential equations
and do root finding in most applications. Examples are methods such as Newton's method,
fixed point
iteration, and linear approximation. For instance, spacecraft use a
variation of the Euler method to approximate curved courses within
zero gravity environments
JURNAL PRIBADI
Pembatas dan kecil sekali
Kalkulus biasanya dikembangkan oleh bekerja dengan sangat
kecil kuantitas. Menurut sejarah, yang pertama cara untuk melakukan. Ini adalah
objek yang mana dapat diperlakukan gemar angka kecuali yaitu, di beberapa rasa,
"kekecilan infinitely". Satu angka kecil sekali dx dapat menjadi lebih besar dibandingkan
memasuki, tapi kurang dari apapun angka pada urutan 1, 1 / 2, 1 / 3, ... dan
kurang dari apapun positif. Apapun bilangan bulat beberapa satu kecil sekali
masih infinitely kecil, yaitu, kecil sekali tidak memuaskan. Dari segi
pandangan ini, kalkulus adalah satu koleksi ilmu pengetahuan tentang teknik
untuk memanipulasi kecil sekali. Pendekatan ini bercekcok dari sukai pada abad
ke-19 karena ini sulit untuk membuat dugaan dari satu tepat yang kecil sekali.
Bagaimanapun, konsep disadarkan pada abad ke-20 dengan pengantar dari dan yang
disediakan fondasi padat untuk manipulasi dengan kecil sekali.
Pada abad ke-19, kecil sekali digantikan oleh Pembatas
mendeskripsikan nilai dari satu pada satu input tertentu dalam kaitan dengan
ini hargai di input dekat. Mereka menangkap perilaku kecil-kecilan, seperti
halnya kecil sekali, tapi pergunakan biasa. Di perlakuan ini, kalkulus adalah
satu koleksi ilmu pengetahuan tentang teknik untuk memanipulasi pembatas
tertentu. Kecil sekali memperoleh digantikan oleh sangat kecil angka, dan
perilaku kecil infinitely dari fungsi ditemukan dengan mengambil perilaku
pembatasan untuk angka lebih kecil dan lebih kecil. Pembatas adalah yang
termudah cara untuk menyediakan fondasi kaku untuk kalkulus, dan untuk ini
memberi alasan mereka adalah pendekatan standar.
Kalkulus diferensial
Garis
singgung garis di( x , f (
x )). Turunan f ' ( x ) dari satu kurva pada satu titik
adalah slop kemiringan (singsing berlalu jalankan) dari baris garis singgung ke
kurva itu di titik itu.
Kalkulus diferensial adalah pembahasan dari definisi, hak
milik, dan aplikasi dari dari satu fungsi. Proses untuk menemukan turunan
dipanggil pembedaan . Diberikan satu fungsi dan satu titik pada daerah,
turunan di bahwa titik adalah satu cara untuk menyandi perilaku kecil-kecilan
dari fungsi dekat titik itu. Dengan menemukan terbitan dari satu fungsi pada
tiap periode kelipatan tunjuk di dalamnya daerah, ini kemungkinan untuk
menghasilkan satu fungsi baru, dipanggil fungsi turunan atau hanya turunan dari fungsi asli. Di jargon matematis, turunan
adalah satu masuki yang satu fungsi dan keluaran satu fungsi detik. Ini jadilah
lebih abstrak dibandingkan beberapa proses yang dipelajari di aljabar
keunsuran, dimana berfungsi biasanya memasuki sejumlah dan angka lain keluaran.
Antara lain, kalau fungsi ganda diberikan input tiga, kemudian keluaran ini
enam, dan kalau fungsi squaring diberikan input tiga, kemudian keluaran ini
sembilan. Turunan, bagaimanapun, dapat mengambil squaring berfungsi sebagai
satu input. Ini memaksudkan bahwa pengambilan turunan semua keterangan dari
squaring function—such seperti itu dua dikirimkan ke empat, tiga dikirimkan ke
sembilan, empat dikirimkan ke enambelas, dan demikian on—and mempergunakan
keterangan ini untuk menghasilkan fungsi lain. (Fungsi ini menghasilkan fungsi
ganda.)
Lambang paling umum untuk satu terbitan adalah satu apostrof
seperti tandai dipanggil. Dengan demikian, terbitan dari fungsi dari f adalah f ' , dilafalkan "f
utama." Sebagai contoh, kalau f ( x ) = x 2 adalah squaring berfungsi, kemudian f ' (
x ) = 2 x apakah ini
turunan, fungsi ganda.
Kalau input dari fungsi mewakili waktu, kemudian terbitan
mewakili perubahan dengan hormat ke waktu. Antara lain, kalau f adalah satu fungsi pengambilan itu satu waktu
seperti input dan memberikan posisi dari satu bola pada waktu itu seperti
keluaran, kemudian terbitan dari f adalah bagaimana posisi sedang mengubah pada
waktunya, yang, ini adalah dari bola.
Kalau satu fungsi adalah (yang, kalau dari fungsi adalah
satu garis lurus), kemudian fungsi dapat ditulis seperti y = mx
+
b , dimana x adalah
variabel mandiri, y adalah variabel bergantung, b adalah y -jegal, dan:
Ini memberikan satu nilai jitu untuk slop kemiringan dari
satu garis lurus. Kalau graf dari fungsi adalah tak satu pun garis lurus,
bagaimanapun, kemudian perubahan di y dibagi oleh perubahan di x bedakan. Turunan memberikan satu arti jitu ke
dugaan dari perubahan di keluaran dengan hormat untuk berganti di input. Yang
berwujud, biar f jadilah satu
fungsi, dan perbaiki satu titik a pada daerah dari f . ( a , f ( a )) adalah satu titik pada
graf dari fungsi. Kalau h adalah
sejumlah dekat dengan nol, kemudian a + h adalah sejumlah dekat dengan a . Oleh
sebab itu( a + h ,
f ( a + h )) adalah dekat dengan( a , f ( a )). Slop kemiringan di
antara ini dua titik adalah
Ekspresi ini dipanggil satu hasil bagi perbedaan .
Satu baris melalui dua titik pada satu kurva dipanggil satu baris garis
potong , sehingga m adalah
slop kemiringan dari baris garis potong di antara( a , f ( a )) dan( a + h , f ( a + h )).
Baris garis potong hanya satu perkiraan ke perilaku dari fungsi hampir a karena ini tidak bertanggungjawab apa yang
terjadi di antara a dan a + h .
Tidaklah mungkin untuk menemukan perilaku di a dengan menyetel h ke nol karena ini akan memerlukan pembagi oleh
nol, yaitu mustahil. Turunan didefinisikan dengan mengambil seperti h cenderung ke nol, memaksudkan bahwa ini
mempertimbangkan perilaku dari f bagi seluruh kekecilan nilai dari h dan ekstrak satu nilai konsisten untuk kasus
ketika h nol sama:
Secara geometris, turunan adalah slop kemiringan ke graf
dari f di a . Baris garis
singgung adalah satu pembatas baris garis potong sama halnya turunan adalah
satu pembatas hasil bagi perbedaan. Untuk alasan ini, terbitan sering menjadi
dipanggil slop kemiringan dari fungsi f .
Di sini adalah satu contoh tertentu, terbitan dari squaring
berfungsi pada input 3. Biar f ( x ) = x 2 jadilah squaring berfungsi.
Turunan
f ' ( x ) dari satu kurva pada satu titik adalah slop kemiringan
dari baris garis singgung ke kurva itu di titik itu. Slop kemiringan ini
ditentukan dengan mempertimbangkan nilai batas dari slop kemiringan dari baris
garis potong. Di sini fungsi terbelit (diseret masuk merah) adalah f ( x
) = x 3 - x .
Baris garis singgung (di hijau) yang melalui titik(-3 / 2, -15 / 8) punya satu
slop kemiringan dari 23 / 4. Catat bahwa skala vertikal dan horisontal di image
ini adalah berbeda.
Slop kemiringan dari baris garis singgung ke squaring
berfungsi hampir (3,9 ) adalah 6, yang untuk katakan, ini sedang menaiki enam
kali secepat ini akan hak. Pembatas memproses hanya terurai dapat dilaksanakan
untuk apapun titik pada daerah dari squaring berfungsi. Ini mendefinisikan fungsi
turunan dari squaring berfungsi,
atau hanya turunan dari squaring
berfungsi untuk mempersingkat. Satu perhitungan serupa ke yang satu pertunjukan
di atas itu turunan dari fungsi squaring adalah fungsi ganda.
Notasi Leibniz
Satu notasi umum, diperkenalkan oleh Leibniz, untuk turunan
pada contoh di atas adalah
Pada satu pendekatan berlandaskan batasi, lambang dy / dx
adalah diinterpretasikan bukan
sebagai hasil bagi dari dua angka kecuali sebagai satu stenografi untuk
pembatas yang dihitung di atas. Leibniz, bagaimanapun, berniatlah ini untuk
mewakili hasil bagi dari dua angka kecil infinitesimally, dy menjadi uang receh infinitesimally di y disebabkan oleh satu uang receh
infinitesimally dx berlaku bagi x
. Kita juga dapat pikiran dari d. / dx sebagai satu operator pembedaan, ambil yang
satu fungsi sebagai satu input dan memberikan fungsi lain, turunan, sebagai
keluaran. Antara lain:
Di pemakaian ini, dx pada pembawah dibaca seperti
"dengan hormat ke x". Bahkan ketika kalkulus dikembangkan
mempergunakan pembatas agak dibandingkan kecil sekali, ini umum untuk
memanipulasi lambang seperti dx dan dy seperti kalau mereka adalah nomor riil; walau
ini kemungkinan untuk menghindari manipulasi demikian, mereka sering menjadi
notationally tepat di dalam mengekspresikan operasi seperti
Kalau kecepatan adalah tetap, hanyalah
darab diperlukan, tapi kalau perubahan kecepatan, kemudian kita memerlukan satu
lebih cara kuat untuk menemukan jarak. Satu cara demikian adalah untuk
mendekati bepergian jarak dengan memisahkan waktu ke dalam beberapa interval
pendek dari waktu, kemudian memperbanyak waktu waktu lalu di masing-masing
interval oleh salah satu kecepatan di interval itu, kemudian pengambilan
penjumlahan dari jarak dekat bepergian
di masing-masing interval. Ide dasar adalah itu kalau hanya satu waktu pendek
waktu lalu, kemudian kecepatan akan tinggal kurang lebih yang sama. Bagaimanapun,
satu Riemann menjumlahkan hanyalah berikan satu perkiraan dari jarak bepergian.
Kita harus mengambil pembatas dari semua demikian Riemann menjumlahkan temukan
jarak tepat bepergian.
Integrasi
dapat dipikirkan dari seperti takaran area pada satu kurva, didefinisikan oleh f
( x ), di antara dua titik (di sini a dan b ).
Kalau f ( x) pada diagram pada sisi kiri wakili
kecepatan saat ini membedakan berlalu waktu, jarak bepergian (di antara times
yang diwakili oleh a dan b )
adalah area dari daerah dinaungi s .
Untuk mendekati area itu, satu cara intuitif akan untuk
membagi-bagi jarak di antara a dan b ke dalam sejumlah segmen sama, panjang dari
masing-masing segmen diwakili oleh lambang Δx . Untuk masing-masing segmen kekecilan,
kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f ( x ). Panggil nilai
itu h . Kemudian area dari segiempat panjang dengan dasar Δx dan ketinggian h berikan jarak (waktu Δx diperbanyak oleh kecepatan h )
bepergian di segmen itu. Dihubungkan dengan masing-masing segmen adalah nilai
rata-rata dari fungsi di atasnya, f (
x) =h. Penjumlahan dari semua segiempat panjang demikian memberikan satu
perkiraan dari area di antara poros dan kurva, yaitu satu perkiraan dari total
jarak bepergian. Satu nilai lebih kecil untuk Δx akan beri lebih segiempat panjang dan dalam
banyak kasus satu perkiraan lebih baik, tapi untuk satu jawaban jitu kita perlu
mengambil satu pembatas seperti Δx nol pendekatan.
Lambang dari integrasi adalah , satu panjang S (s wakili
"penjumlahan"). Integral tentu ditulis seperti:
dan dibaca "integral dari a untuk b dari f -dari - x dengan hormat ke x ." Notasi
Leibniz dx dimaksudkan untuk
menyarankan pembagi area pada kurva ke dalam satu angka tanpa batas dari
segiempat panjang, sehingga itu lebar mereka Δx jadi infinitesimally kecil dx . Pada
satu penjabaran kalkulus berlandaskan batasi, notasi
adalah dipahami sebagai satu operator pengambilan itu satu
fungsi sebagai satu input dan memberikan sejumlah, area, sebagai satu keluaran.
Diferensial pengakhiran, dx ,
bukan sejumlah, dan tidak sedang diperbanyak oleh f ( x) , walau,
melayani sebagai satu pemberitahuan peringatan dari Δx batasi definisi, ini dapat diperlakukan
seperti halnya pada manipulasi simbolis dari integral. Secara formal,
diferensial menandai variabel berlalu yang mana fungsi diintegrasikan dan
melayani sebagai satu kurung tutup untuk operator integrasi.
Integral tak tentu, atau
antiderivative, ditulis:
Berbeda fungsi oleh hanya satu telah
tetap yang punya terbitan yang sama, dan ini dapat terlihat itu antiderivative
dari satu fungsi tertentu sebenarnya sekeluarga dari fungsi membedakan hanya
dengan satu telah tetap. Sejak terbitan dari fungsi y = x ²
+ C , dimana C adalah apapun tetap, adalah y ' = 2 x , antiderivative dari tertentu
yang belakangan oleh:
Lebih secara tepat, ini berhubungan
nilai dari antiderivatives ke integral tentu. Karena ini biasanya lebih mudah
untuk menghitung satu antiderivative dibandingkan untuk menerapkan definisi
dari satu integral tentu, Dalil Fundamental dari Kalkulus menyediakan satu cara
praktis dari integral tentu komputasi. Ini juga dapat diinterpretasikan sebagai
satu pernyataan tepat dari fakta bahwa pembedaan adalah kebalikan dari
integrasi.
Dalil Fundamental dari status Kalkulus:
Kalau satu fungsi f adalah pada
interval[ a , b ] dan kalau F adalah satu fungsi siapakah terbitan f pada interval( a , b ), kemudian
Lagipula, bagi setiap x pada interval( a , b ),
Perbuatan nyata ini, dibuat oleh keduanya, siapa didasari
hasil mereka pada pekerjaan lebih awal oleh, tombol jari ke perkembang biakan
pejal dengan hasil analitik setelah pekerjaan mereka jadi dikenal. Dalil
fundamental menyediakan satu cara secara aljabar dari komputasi banyak terbatas
integrals—without melaksanakan pembatas processes—by menemukan rumus untuk. Ini
adalah satu solusi contoh asli dari satu. Persamaan diferensial berhubungan
satu fungsi tidak diketahui untuk terbitannya, dan adalah ada dimana mana pada
pengetahuan.
Kalkulus dipergunakan pada tiap-tiap cabang dari ilmu
eksakta, ilmu komputer, statistik, rancang-bangun, ekonomi, bisnis, perobatan,
dan pada bidang lain dimanapun satu masalah dapat dan satu solusi diinginkan.
Ini mengijinkan satu untuk tinggalkan (bukan telah tetap) kecepatan-angka dari
perubahan ke total perubahan atau bolak balik, dan kerap kali di belajar satu
masalah yang kita ketahui satu dan sedang mencoba untuk menemukan yang lain.
Langganan:
Postingan (Atom)