Jumat, 21 Juni 2013

alamat email qu

dedy@student.unidar.ac.id

jurnal kalkulus berkaitan dengan ilmu biologi




JURNAL INTERNASIONAL

Limits and infinitesimals
Calculus is usually developed by working with very small quantities. Historically, the first method of doing so was by infinitesimals. These are objects which can be treated like numbers but which are, in some sense, "infinitely small". An infinitesimal number dx could be greater than 0, but less than any number in the sequence 1, 1/2, 1/3, ... and less than any positive real number. Any integer multiple of an infinitesimal is still infinitely small, i.e., infinitesimals do not satisfy the Archimedean property. From this point of view, calculus is a collection of techniques for manipulating infinitesimals. This approach fell out of favor in the 19th century because it was difficult to make the notion of an infinitesimal precise. However, the concept was revived in the 20th century with the introduction of non-standard analysis and smooth infinitesimal analysis, which provided solid foundations for the manipulation of infinitesimals.
In the 19th century, infinitesimals were replaced by limits. Limits describe the value of a function at a certain input in terms of its values at nearby input. They capture small-scale behavior, just like infinitesimals, but use the ordinary real number system. In this treatment, calculus is a collection of techniques for manipulating certain limits. Infinitesimals get replaced by very small numbers, and the infinitely small behavior of the function is found by taking the limiting behavior for smaller and smaller numbers. Limits are the easiest way to provide rigorous foundations for calculus, and for this reason they are the standard approach.
Differential calculus
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d4/Tangent_derivative_calculusdia.svg/300px-Tangent_derivative_calculusdia.svg.png






Tangent line at (x, f(x)). The derivative f(x) of a curve at a point is the slope (rise over run) of the line tangent to that curve at that point.
Differential calculus is the study of the definition, properties, and applications of the derivative of a function. The process of finding the derivative is called differentiation. Given a function and a point in the domain, the derivative at that point is a way of encoding the small-scale behavior of the function near that point. By finding the derivative of a function at every point in its domain, it is possible to produce a new function, called the derivative function or just the derivative of the original function. In mathematical jargon, the derivative is a linear operator which inputs a function and outputs a second function. This is more abstract than many of the processes studied in elementary algebra, where functions usually input a number and output another number. For example, if the doubling function is given the input three, then it outputs six, and if the squaring function is given the input three, then it outputs nine. The derivative, however, can take the squaring function as an input. This means that the derivative takes all the information of the squaring function—such as that two is sent to four, three is sent to nine, four is sent to sixteen, and so on—and uses this information to produce another function. (The function it produces turns out to be the doubling function.)
The most common symbol for a derivative is an apostrophe-like mark called prime. Thus, the derivative of the function of f is f, pronounced "f prime." For instance, if f(x) = x2 is the squaring function, then f(x) = 2x is its derivative, the doubling function.
If the input of the function represents time, then the derivative represents change with respect to time. For example, if f is a function that takes a time as input and gives the position of a ball at that time as output, then the derivative of f is how the position is changing in time, that is, it is the velocity of the ball.
If a function is linear (that is, if the graph of the function is a straight line), then the function can be written as y = mx + b, where x is the independent variable, y is the dependent variable, b is the y-intercept, and:
m= \frac{\text{rise}}{\text{run}}= \frac{\text{change in } y}{\text{change in } x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.
This gives an exact value for the slope of a straight line. If the graph of the function is not a straight line, however, then the change in y divided by the change in x varies. Derivatives give an exact meaning to the notion of change in output with respect to change in input. To be concrete, let f be a function, and fix a point a in the domain of f. (a, f(a)) is a point on the graph of the function. If h is a number close to zero, then a + h is a number close to a. Therefore (a + h, f(a + h)) is close to (a, f(a)). The slope between these two points is
m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.
This expression is called a difference quotient. A line through two points on a curve is called a secant line, so m is the slope of the secant line between (a, f(a)) and (a + h, f(a + h)). The secant line is only an approximation to the behavior of the function at the point a because it does not account for what happens between a and a + h. It is not possible to discover the behavior at a by setting h to zero because this would require dividing by zero, which is impossible. The derivative is defined by taking the limit as h tends to zero, meaning that it considers the behavior of f for all small values of h and extracts a consistent value for the case when h equals zero:
\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.
Geometrically, the derivative is the slope of the tangent line to the graph of f at a. The tangent line is a limit of secant lines just as the derivative is a limit of difference quotients. For this reason, the derivative is sometimes called the slope of the function f.
Here is a particular example, the derivative of the squaring function at the input 3. Let f(x) = x2 be the squaring function.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/34/Sec2tan.gif/300px-Sec2tan.gif

The derivative f(x) of a curve at a point is the slope of the line tangent to that curve at that point. This slope is determined by considering the limiting value of the slopes of secant lines. Here the function involved (drawn in red) is f(x) = x3x. The tangent line (in green) which passes through the point (−3/2, −15/8) has a slope of 23/4. Note that the vertical and horizontal scales in this image are different.
\begin{align}f'(3) &=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\
&= 6.
\end{align}
The slope of tangent line to the squaring function at the point (3,9) is 6, that is to say, it is going up six times as fast as it is going to the right. The limit process just described can be performed for any point in the domain of the squaring function. This defines the derivative function of the squaring function, or just the derivative of the squaring function for short. A similar computation to the one above shows that the derivative of the squaring function is the doubling function.
Leibniz notation
Main article: Leibniz's notation
A common notation, introduced by Leibniz, for the derivative in the example above is
\begin{align}
y&=x^2 \\
\frac{dy}{dx}&=2x.
\end{align}
In an approach based on limits, the symbol dy/dx is to be interpreted not as the quotient of two numbers but as a shorthand for the limit computed above. Leibniz, however, did intend it to represent the quotient of two infinitesimally small numbers, dy being the infinitesimally small change in y caused by an infinitesimally small change dx applied to x. We can also think of d/dx as a differentiation operator, which takes a function as an input and gives another function, the derivative, as the output. For example:
\frac{d}{dx}(x^2)=2x.
In this usage, the dx in the denominator is read as "with respect to x". Even when calculus is developed using limits rather than infinitesimals, it is common to manipulate symbols like dx and dy as if they were real numbers; although it is possible to avoid such manipulations, they are sometimes notationally convenient in expressing operations such as the total derivative.
Integral calculus
Main article: Integral
Integral calculus is the study of the definitions, properties, and applications of two related concepts, the indefinite integral and the definite integral. The process of finding the value of an integral is called integration. In technical language, integral calculus studies two related linear operators.
The indefinite integral is the antiderivative, the inverse operation to the derivative. F is an indefinite integral of f when f is a derivative of F. (This use of lower- and upper-case letters for a function and its indefinite integral is common in calculus.)
The definite integral inputs a function and outputs a number, which gives the algebraic sum of areas between the graph of the input and the x-axis. The technical definition of the definite integral is the limit of a sum of areas of rectangles, called a Riemann sum.
A motivating example is the distances traveled in a given time.
\mathrm{Distance} = \mathrm{Speed} \cdot \mathrm{Time}
If the speed is constant, only multiplication is needed, but if the speed changes, then we need a more powerful method of finding the distance. One such method is to approximate the distance traveled by breaking up the time into many short intervals of time, then multiplying the time elapsed in each interval by one of the speeds in that interval, and then taking the sum (a Riemann sum) of the approximate distance traveled in each interval. The basic idea is that if only a short time elapses, then the speed will stay more or less the same. However, a Riemann sum only gives an approximation of the distance traveled. We must take the limit of all such Riemann sums to find the exact distance traveled.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Integral_as_region_under_curve.svg/280px-Integral_as_region_under_curve.svg.png

Integration can be thought of as measuring the area under a curve, defined by f(x), between two points (here a and b).
If f(x) in the diagram on the left represents speed as it varies over time, the distance traveled (between the times represented by a and b) is the area of the shaded region s.
To approximate that area, an intuitive method would be to divide up the distance between a and b into a number of equal segments, the length of each segment represented by the symbol Δx. For each small segment, we can choose one value of the function f(x). Call that value h. Then the area of the rectangle with base Δx and height h gives the distance (time Δx multiplied by speed h) traveled in that segment. Associated with each segment is the average value of the function above it, f(x)=h. The sum of all such rectangles gives an approximation of the area between the axis and the curve, which is an approximation of the total distance traveled. A smaller value for Δx will give more rectangles and in most cases a better approximation, but for an exact answer we need to take a limit as Δx approaches zero.
The symbol of integration is \int \,, an elongated S (the S stands for "sum"). The definite integral is written as:
\int_a^b f(x)\, dx.
and is read "the integral from a to b of f-of-x with respect to x." The Leibniz notation dx is intended to suggest dividing the area under the curve into an infinite number of rectangles, so that their width Δx becomes the infinitesimally small dx. In a formulation of the calculus based on limits, the notation
\int_a^b \ldots\, dx
is to be understood as an operator that takes a function as an input and gives a number, the area, as an output. The terminating differential, dx, is not a number, and is not being multiplied by f(x), although, serving as a reminder of the Δx limit definition, it can be treated as such in symbolic manipulations of the integral. Formally, the differential indicates the variable over which the function is integrated and serves as a closing bracket for the integration operator.
The indefinite integral, or antiderivative, is written:
\int f(x)\, dx.
Functions differing by only a constant have the same derivative, and it can be shown that the antiderivative of a given function is actually a family of functions differing only by a constant. Since the derivative of the function y = x² + C, where C is any constant, is y = 2x, the antiderivative of the latter given by:
\int 2x\, dx = x^2 + C.
The unspecified constant C present in the indefinite integral or antiderivative is known as the constant of integration.
Fundamental theorem
The fundamental theorem of calculus states that differentiation and integration are inverse operations. More precisely, it relates the values of antiderivatives to definite integrals. Because it is usually easier to compute an antiderivative than to apply the definition of a definite integral, the Fundamental Theorem of Calculus provides a practical way of computing definite integrals. It can also be interpreted as a precise statement of the fact that differentiation is the inverse of integration.
The Fundamental Theorem of Calculus states: If a function f is continuous on the interval [a, b ] and if F is a function whose derivative is f on the interval (a, b ), then
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).
Furthermore, for every x in the interval (a, b),
\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).
This realization, made by both Newton and Leibniz, who based their results on earlier work by Isaac Barrow, was key to the massive proliferation of analytic results after their work became known. The fundamental theorem provides an algebraic method of computing many definite integrals—without performing limit processes—by finding formulas for antiderivatives. It is also a prototype solution of a differential equation. Differential equations relate an unknown function to its derivatives, and are ubiquitous in the sciences.
Applications

This section does not cite any references or sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (April 2013)

The logarithmic spiral of the Nautilus shell is a classical image used to depict the growth and change related to calculus
Calculus is used in every branch of the physical sciences, actuarial science, computer science, statistics, engineering, economics, business, medicine, demography, and in other fields wherever a problem can be mathematically modeled and an optimal solution is desired. It allows one to go from (non-constant) rates of change to the total change or vice versa, and many times in studying a problem we know one and are trying to find the other.
Physics makes particular use of calculus; all concepts in classical mechanics and electromagnetism are interrelated through calculus. The mass of an object of known density, the moment of inertia of objects, as well as the total energy of an object within a conservative field can be found by the use of calculus. An example of the use of calculus in mechanics is Newton's second law of motion: historically stated it expressly uses the term "rate of change" which refers to the derivative saying The rate of change of momentum of a body is equal to the resultant force acting on the body and is in the same direction. Commonly expressed today as Force = Mass × acceleration, it involves differential calculus because acceleration is the time derivative of velocity or second time derivative of trajectory or spatial position. Starting from knowing how an object is accelerating, we use calculus to derive its path.
Maxwell's theory of electromagnetism and Einstein's theory of general relativity are also expressed in the language of differential calculus. Chemistry also uses calculus in determining reaction rates and radioactive decay. In biology, population dynamics starts with reproduction and death rates to model population changes.
Calculus can be used in conjunction with other mathematical disciplines. For example, it can be used with linear algebra to find the "best fit" linear approximation for a set of points in a domain. Or it can be used in probability theory to determine the probability of a continuous random variable from an assumed density function. In analytic geometry, the study of graphs of functions, calculus is used to find high points and low points (maxima and minima), slope, concavity and inflection points.
Green's Theorem, which gives the relationship between a line integral around a simple closed curve C and a double integral over the plane region D bounded by C, is applied in an instrument known as a planimeter, which is used to calculate the area of a flat surface on a drawing. For example, it can be used to calculate the amount of area taken up by an irregularly shaped flower bed or swimming pool when designing the layout of a piece of property.
Discrete Green's Theorem, which gives the relationship between a double integral of a function around a simple closed rectangular curve C and a linear combination of the antiderivative's values at corner points along the edge of the curve, allows fast calculation of sums of values in rectangular domains. For example, it can be used to efficiently calculate sums of rectangular domains in images, in order to rapidly extract features and detect object - see also the summed area table algorithm.
In the realm of medicine, calculus can be used to find the optimal branching angle of a blood vessel so as to maximize flow. From the decay laws for a particular drug's elimination from the body, it's used to derive dosing laws. In nuclear medicine, it's used to build models of radiation transport in targeted tumor therapies.
In economics, calculus allows for the determination of maximal profit by providing a way to easily calculate both marginal cost and marginal revenue.
Calculus is also used to find approximate solutions to equations; in practice it's the standard way to solve differential equations and do root finding in most applications. Examples are methods such as Newton's method, fixed point iteration, and linear approximation. For instance, spacecraft use a variation of the Euler method to approximate curved courses within zero gravity environments




JURNAL PRIBADI

Pembatas dan kecil sekali
Kalkulus biasanya dikembangkan oleh bekerja dengan sangat kecil kuantitas. Menurut sejarah, yang pertama cara untuk melakukan. Ini adalah objek yang mana dapat diperlakukan gemar angka kecuali yaitu, di beberapa rasa, "kekecilan infinitely". Satu angka kecil sekali dx  dapat menjadi lebih besar dibandingkan memasuki, tapi kurang dari apapun angka pada urutan 1, 1 / 2, 1 / 3, ... dan kurang dari apapun positif. Apapun bilangan bulat beberapa satu kecil sekali masih infinitely kecil, yaitu, kecil sekali tidak memuaskan. Dari segi pandangan ini, kalkulus adalah satu koleksi ilmu pengetahuan tentang teknik untuk memanipulasi kecil sekali. Pendekatan ini bercekcok dari sukai pada abad ke-19 karena ini sulit untuk membuat dugaan dari satu tepat yang kecil sekali. Bagaimanapun, konsep disadarkan pada abad ke-20 dengan pengantar dari dan yang disediakan fondasi padat untuk manipulasi dengan kecil sekali.
Pada abad ke-19, kecil sekali digantikan oleh Pembatas mendeskripsikan nilai dari satu pada satu input tertentu dalam kaitan dengan ini hargai di input dekat. Mereka menangkap perilaku kecil-kecilan, seperti halnya kecil sekali, tapi pergunakan biasa. Di perlakuan ini, kalkulus adalah satu koleksi ilmu pengetahuan tentang teknik untuk memanipulasi pembatas tertentu. Kecil sekali memperoleh digantikan oleh sangat kecil angka, dan perilaku kecil infinitely dari fungsi ditemukan dengan mengambil perilaku pembatasan untuk angka lebih kecil dan lebih kecil. Pembatas adalah yang termudah cara untuk menyediakan fondasi kaku untuk kalkulus, dan untuk ini memberi alasan mereka adalah pendekatan standar.




Kalkulus diferensial

Garis singgung garis di( x ,  f ( x )). Turunan f ' ( x ) dari satu kurva pada satu titik adalah slop kemiringan (singsing berlalu jalankan) dari baris garis singgung ke kurva itu di titik itu.
Kalkulus diferensial adalah pembahasan dari definisi, hak milik, dan aplikasi dari dari satu fungsi. Proses untuk menemukan turunan dipanggil pembedaan . Diberikan satu fungsi dan satu titik pada daerah, turunan di bahwa titik adalah satu cara untuk menyandi perilaku kecil-kecilan dari fungsi dekat titik itu. Dengan menemukan terbitan dari satu fungsi pada tiap periode kelipatan tunjuk di dalamnya daerah, ini kemungkinan untuk menghasilkan satu fungsi baru, dipanggil fungsi turunan  atau hanya turunan  dari fungsi asli. Di jargon matematis, turunan adalah satu masuki yang satu fungsi dan keluaran satu fungsi detik. Ini jadilah lebih abstrak dibandingkan beberapa proses yang dipelajari di aljabar keunsuran, dimana berfungsi biasanya memasuki sejumlah dan angka lain keluaran. Antara lain, kalau fungsi ganda diberikan input tiga, kemudian keluaran ini enam, dan kalau fungsi squaring diberikan input tiga, kemudian keluaran ini sembilan. Turunan, bagaimanapun, dapat mengambil squaring berfungsi sebagai satu input. Ini memaksudkan bahwa pengambilan turunan semua keterangan dari squaring function—such seperti itu dua dikirimkan ke empat, tiga dikirimkan ke sembilan, empat dikirimkan ke enambelas, dan demikian on—and mempergunakan keterangan ini untuk menghasilkan fungsi lain. (Fungsi ini menghasilkan fungsi ganda.)
Lambang paling umum untuk satu terbitan adalah satu apostrof seperti tandai dipanggil. Dengan demikian, terbitan dari fungsi dari f  adalah f ' , dilafalkan "f utama." Sebagai contoh, kalau f ( x ) =  x 2  adalah squaring berfungsi, kemudian f ' ( x ) = 2 x  apakah ini turunan, fungsi ganda.
Kalau input dari fungsi mewakili waktu, kemudian terbitan mewakili perubahan dengan hormat ke waktu. Antara lain, kalau f  adalah satu fungsi pengambilan itu satu waktu seperti input dan memberikan posisi dari satu bola pada waktu itu seperti keluaran, kemudian terbitan dari f  adalah bagaimana posisi sedang mengubah pada waktunya, yang, ini adalah dari bola.
Kalau satu fungsi adalah (yang, kalau dari fungsi adalah satu garis lurus), kemudian fungsi dapat ditulis seperti y  =  mx  +  b , dimana x  adalah variabel mandiri,  y  adalah variabel bergantung,  b  adalah y -jegal, dan:


Ini memberikan satu nilai jitu untuk slop kemiringan dari satu garis lurus. Kalau graf dari fungsi adalah tak satu pun garis lurus, bagaimanapun, kemudian perubahan di y  dibagi oleh perubahan di x  bedakan. Turunan memberikan satu arti jitu ke dugaan dari perubahan di keluaran dengan hormat untuk berganti di input. Yang berwujud, biar f  jadilah satu fungsi, dan perbaiki satu titik a  pada daerah dari f . ( a ,  f ( a )) adalah satu titik pada graf dari fungsi. Kalau h  adalah sejumlah dekat dengan nol, kemudian a  +  h  adalah sejumlah dekat dengan a . Oleh sebab itu( a  +  h ,  f ( a  +  h )) adalah dekat dengan( a ,  f ( a )). Slop kemiringan di antara ini dua titik adalah
Ekspresi ini dipanggil satu hasil bagi perbedaan . Satu baris melalui dua titik pada satu kurva dipanggil satu baris garis potong , sehingga m  adalah slop kemiringan dari baris garis potong di antara( a ,  f ( a )) dan( a  +  h ,  f ( a  +  h )). Baris garis potong hanya satu perkiraan ke perilaku dari fungsi hampir a  karena ini tidak bertanggungjawab apa yang terjadi di antara a  dan a  +  h . Tidaklah mungkin untuk menemukan perilaku di a  dengan menyetel h  ke nol karena ini akan memerlukan pembagi oleh nol, yaitu mustahil. Turunan didefinisikan dengan mengambil seperti h  cenderung ke nol, memaksudkan bahwa ini mempertimbangkan perilaku dari f  bagi seluruh kekecilan nilai dari h  dan ekstrak satu nilai konsisten untuk kasus ketika h  nol sama:

Secara geometris, turunan adalah slop kemiringan ke graf dari f  di a . Baris garis singgung adalah satu pembatas baris garis potong sama halnya turunan adalah satu pembatas hasil bagi perbedaan. Untuk alasan ini, terbitan sering menjadi dipanggil slop kemiringan dari fungsi f .
Di sini adalah satu contoh tertentu, terbitan dari squaring berfungsi pada input 3. Biar f ( x ) =  x 2  jadilah squaring berfungsi.
Turunan f ' ( x ) dari satu kurva pada satu titik adalah slop kemiringan dari baris garis singgung ke kurva itu di titik itu. Slop kemiringan ini ditentukan dengan mempertimbangkan nilai batas dari slop kemiringan dari baris garis potong. Di sini fungsi terbelit (diseret masuk merah) adalah f ( x ) =  x 3  -  x . Baris garis singgung (di hijau) yang melalui titik(-3 / 2, -15 / 8) punya satu slop kemiringan dari 23 / 4. Catat bahwa skala vertikal dan horisontal di image ini adalah berbeda.

Slop kemiringan dari baris garis singgung ke squaring berfungsi hampir (3,9 ) adalah 6, yang untuk katakan, ini sedang menaiki enam kali secepat ini akan hak. Pembatas memproses hanya terurai dapat dilaksanakan untuk apapun titik pada daerah dari squaring berfungsi. Ini mendefinisikan fungsi turunan  dari squaring berfungsi, atau hanya turunan  dari squaring berfungsi untuk mempersingkat. Satu perhitungan serupa ke yang satu pertunjukan di atas itu turunan dari fungsi squaring adalah fungsi ganda.

Notasi Leibniz
Satu notasi umum, diperkenalkan oleh Leibniz, untuk turunan pada contoh di atas adalah
Pada satu pendekatan berlandaskan batasi, lambang dy / dx  adalah diinterpretasikan bukan sebagai hasil bagi dari dua angka kecuali sebagai satu stenografi untuk pembatas yang dihitung di atas. Leibniz, bagaimanapun, berniatlah ini untuk mewakili hasil bagi dari dua angka kecil infinitesimally,  dy  menjadi uang receh infinitesimally di y  disebabkan oleh satu uang receh infinitesimally dx  berlaku bagi x . Kita juga dapat pikiran dari d. / dx  sebagai satu operator pembedaan, ambil yang satu fungsi sebagai satu input dan memberikan fungsi lain, turunan, sebagai keluaran. Antara lain:
Di pemakaian ini,  dx pada pembawah dibaca seperti "dengan hormat ke x". Bahkan ketika kalkulus dikembangkan mempergunakan pembatas agak dibandingkan kecil sekali, ini umum untuk memanipulasi lambang seperti dx  dan dy  seperti kalau mereka adalah nomor riil; walau ini kemungkinan untuk menghindari manipulasi demikian, mereka sering menjadi notationally tepat di dalam mengekspresikan operasi seperti
Kalau kecepatan adalah tetap, hanyalah darab diperlukan, tapi kalau perubahan kecepatan, kemudian kita memerlukan satu lebih cara kuat untuk menemukan jarak. Satu cara demikian adalah untuk mendekati bepergian jarak dengan memisahkan waktu ke dalam beberapa interval pendek dari waktu, kemudian memperbanyak waktu waktu lalu di masing-masing interval oleh salah satu kecepatan di interval itu, kemudian pengambilan penjumlahan  dari jarak dekat bepergian di masing-masing interval. Ide dasar adalah itu kalau hanya satu waktu pendek waktu lalu, kemudian kecepatan akan tinggal kurang lebih yang sama. Bagaimanapun, satu Riemann menjumlahkan hanyalah berikan satu perkiraan dari jarak bepergian. Kita harus mengambil pembatas dari semua demikian Riemann menjumlahkan temukan jarak tepat bepergian.
\https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Integral_as_region_under_curve.svg/280px-Integral_as_region_under_curve.svg.png

Integrasi dapat dipikirkan dari seperti takaran area pada satu kurva, didefinisikan oleh f ( x ), di antara dua titik (di sini a  dan b ).
Kalau f ( x) pada diagram pada sisi kiri wakili kecepatan saat ini membedakan berlalu waktu, jarak bepergian (di antara times yang diwakili oleh a  dan b ) adalah area dari daerah dinaungi s .
Untuk mendekati area itu, satu cara intuitif akan untuk membagi-bagi jarak di antara a  dan b  ke dalam sejumlah segmen sama, panjang dari masing-masing segmen diwakili oleh lambang Δx . Untuk masing-masing segmen kekecilan, kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f ( x ). Panggil nilai itu h . Kemudian area dari segiempat panjang dengan dasar Δx  dan ketinggian h berikan jarak (waktu Δx  diperbanyak oleh kecepatan h ) bepergian di segmen itu. Dihubungkan dengan masing-masing segmen adalah nilai rata-rata dari fungsi di atasnya,  f ( x) =h. Penjumlahan dari semua segiempat panjang demikian memberikan satu perkiraan dari area di antara poros dan kurva, yaitu satu perkiraan dari total jarak bepergian. Satu nilai lebih kecil untuk Δx  akan beri lebih segiempat panjang dan dalam banyak kasus satu perkiraan lebih baik, tapi untuk satu jawaban jitu kita perlu mengambil satu pembatas seperti Δx  nol pendekatan.
Lambang dari integrasi adalah , satu panjang S (s wakili "penjumlahan"). Integral tentu ditulis seperti:
\int_a^b f(x)\, dx.
dan dibaca "integral dari a  untuk b  dari f -dari - x  dengan hormat ke x ." Notasi Leibniz dx  dimaksudkan untuk menyarankan pembagi area pada kurva ke dalam satu angka tanpa batas dari segiempat panjang, sehingga itu lebar mereka Δx  jadi infinitesimally kecil dx . Pada satu penjabaran kalkulus berlandaskan batasi, notasi
\int_a^b \ldots\, dx
adalah dipahami sebagai satu operator pengambilan itu satu fungsi sebagai satu input dan memberikan sejumlah, area, sebagai satu keluaran. Diferensial pengakhiran,  dx , bukan sejumlah, dan tidak sedang diperbanyak oleh f ( x) , walau, melayani sebagai satu pemberitahuan peringatan dari Δx  batasi definisi, ini dapat diperlakukan seperti halnya pada manipulasi simbolis dari integral. Secara formal, diferensial menandai variabel berlalu yang mana fungsi diintegrasikan dan melayani sebagai satu kurung tutup untuk operator integrasi.


Integral tak tentu, atau antiderivative, ditulis:
\int f(x)\, dx.
Berbeda fungsi oleh hanya satu telah tetap yang punya terbitan yang sama, dan ini dapat terlihat itu antiderivative dari satu fungsi tertentu sebenarnya sekeluarga dari fungsi membedakan hanya dengan satu telah tetap. Sejak terbitan dari fungsi y  =  x ² +  C , dimana C  adalah apapun tetap, adalah y '  = 2 x , antiderivative dari tertentu yang belakangan oleh:
\int 2x\, dx = x^2 + C.
Lebih secara tepat, ini berhubungan nilai dari antiderivatives ke integral tentu. Karena ini biasanya lebih mudah untuk menghitung satu antiderivative dibandingkan untuk menerapkan definisi dari satu integral tentu, Dalil Fundamental dari Kalkulus menyediakan satu cara praktis dari integral tentu komputasi. Ini juga dapat diinterpretasikan sebagai satu pernyataan tepat dari fakta bahwa pembedaan adalah kebalikan dari integrasi.
Dalil Fundamental dari status Kalkulus: Kalau satu fungsi f  adalah pada interval[ a ,  b  ] dan kalau F  adalah satu fungsi siapakah terbitan f  pada interval( a ,  b  ), kemudian
Lagipula, bagi setiap x  pada interval( a ,  b ),
Perbuatan nyata ini, dibuat oleh keduanya, siapa didasari hasil mereka pada pekerjaan lebih awal oleh, tombol jari ke perkembang biakan pejal dengan hasil analitik setelah pekerjaan mereka jadi dikenal. Dalil fundamental menyediakan satu cara secara aljabar dari komputasi banyak terbatas integrals—without melaksanakan pembatas processes—by menemukan rumus untuk. Ini adalah satu solusi contoh asli dari satu. Persamaan diferensial berhubungan satu fungsi tidak diketahui untuk terbitannya, dan adalah ada dimana mana pada pengetahuan.
 
Kalkulus dipergunakan pada tiap-tiap cabang dari ilmu eksakta, ilmu komputer, statistik, rancang-bangun, ekonomi, bisnis, perobatan, dan pada bidang lain dimanapun satu masalah dapat dan satu solusi diinginkan. Ini mengijinkan satu untuk tinggalkan (bukan telah tetap) kecepatan-angka dari perubahan ke total perubahan atau bolak balik, dan kerap kali di belajar satu masalah yang kita ketahui satu dan sedang mencoba untuk menemukan yang lain.