jurnal kalkulus berkaitan dengan ilmu Kimia

NUMERICAL CALCULUS AND ANALYTICAL CHEMISTRY:
An example of interdisciplinary teaching


Víctor Eduardo MARTINEZ LUACES

Facultad de Química, Universidad de la República, Uruguay victor@bilbo.edu.uy; victor@eiffel.fing.edu.uy


Gladys Elisa GUINEO COBS

Facultad de Química, Universidad de la República, Uruguay.

gladysgc@bilbo.edu.uy; gegctrini@mixmail.com

ABSTRACT

            Analytical Chemistry is an almost unexplored source of real ­ life problems for Numerical Calculus courses in chemical careers (Martínez Luaces, V., 2001).
In this paper, we discuss one of these problems: the pH determination of a weak monoprotic acid aqueous solution (Labandera, F. & Martínez Luaces, V., 1994).

            From the mathematical viewpoint, this problem led us to solve very difficult algebraic equations. In several cases is possible to obtain an algebraic exact solution, but in other situations the algebraic approach is not useful. So, if we wont to generalise our methods, we need a numeric approximate solution.

            We analyse several algorithms form well known methods as Newton ­ Raphson, Regula Falsi, Bisection and others (Dahlquist, G., Bjorck, A. & Anderson, N., 1974). We also study a couple of methods, developed specially for this kind of problems.

           The variety of situations, and the mathematical and chemical richness of them, suggests proposing an interdisciplinary work in research and teaching. This can be carried out by a group of both Analytical Chemistry and Numerical Calculus teachers. In the same way possible to use these problems for students project ­ work, with interesting advantages

           We comment here, some important results, strongly related with this style of teaching ((Martínez Luaces, V. 1998) and (Gómez, A. & Martínez Luaces, V., 2001)). Finally, we suggest some recommendations for these mathematical service courses in chemical careers.


Keywords : Applied Mathematics, Numerical Calculus, Analytical Chemistry, Interdisciplinary teaching.

1.                 Introduction

The pH determination of an aqueous solution is a very important problem in Analytical Chemistry.

             From the mathematical point of view, this chemical problem is modeled using algebraic equations. As an example we have:

           In this equation Ca and Cb are the concentrations of acid and base solutions and Va , Vb are their volumes.The symbols Kw and Ka represent the equilibrium constants for water and acid, respectively and finally [ H +] is the concentration of the hydrogen ion. All these variables are positive numbers and [ H + ] is the unique unknown, and then, pH is obtained as - log ([ H +]).

           Equation ( 1 ) corresponds to the pH determination of a weak monoprotic acid solution (Martínez Luaces, V., 2001). Obviously, this formula can be easily converted in a polynomial equation of third order.

            If we consider now another situation, like the dilution of a phosphoric salt (for example Na2HPO4), then, the resulting problem is much more difficult. In fact, in this case (Martínez Luaces, V. & Martínez, F.,submitted), we have:

Cs=

As in the other case, Cs is the concentration of the salt solution, Kw , K1 , K2 , K3 are equilibrium constants and [ H +] is the concentration of the hydrogen ion. In this equation, as in ( 1 ), all these variables are positive numbers and [ H +] is the unknown. Finally, the pH value is obtained using the equation pH = - log ([ H +])

                 As in the other case, equation ( 2 ) can be converted in a polynomial one of fifth order. It is well known, as a result of Galois theory (Grillet, P., 1999), that there are no formulas based on Nth-roots, useful to solve general polynomial equations with a degree greater or equal than five.

                  Then, we need a numerical approach to solve this chemical and mathematical problem. In this paper, we will analyze several numerical methods and all of them will be studied from the Mathematical Education view point. It is important to remark that this methods and their applications to the chemical problem already mentioned, provide a source of interdisciplinary work in research and teaching. Moreover, the variety of situations and the mathematical and chemical richness of them, suggest to use these examples to propose project-work for the students, with interesting possibilities.

                Finally, we will comment some important results obtained in the last years in our department of Mathematics. Taking into account these results, we will propose several conclusions and recommendations for service courses in chemical careers.

2.                 The numerical approach

              In this section, we will analyze the applicability of several numerical methods: Functional Iteration, Newton-Raphson, Bisection, Secant and Regula Falsi (Martínez Luaces, V. 1998). All these methods are very common and well known by students.
As a complement, we will mention a couple of methods developed specially for these problems.

· Functional Iteration:

A first easy option is to put equations 1 and/or 2 in the form:

[H+] = - g ([H+])

               Then, it is possible to find the solution using a fixed point iteration method (Martínez Luaces, V. 1998). In this case, if Va = 10 ml, Vb = 3 ml, Ca = 0.1 M, Cb = 0.1 M and Ka = 10-3 (Kw is a constant, and its value is 10-14), then, the correct pH will be 2.69. Unfortunately, if we start the iterative method with a pH of 3 (that is, the best entire approximation), next iterant will be 1.81, and the next one does not exist! (pH is a positive number and in this third iteration we obtain the log of a negative number, and that situation has no chemical sense).

              It is possible to show that the same situation takes place for almost all the reasonable values of pH in this case (Martínez Luaces, V. & Martínez, F., 2002), so we cannot recommend this method. It is impossible to use it for this problem.

 
· Newton-Raphson.

          The speed of convergence for this method depends strongly of the initial approximation and the precision required.

          For chemical reasons (Kolthoff, I. & Sandell, E., 1943), pH is given with only two significative numbers, so, the maximum precision needed will be 0.01.

          The speed of convergence can be measured considering " n ", that is the number of iterations to reach the pH value with a given precision "".

           Taking into account all this facts, we can plot the variable " n " against "pH0" (the initial approximation) and "". We decided to make the plot in !2 putting "pH0" in the " x " axis and "" in the " y " one, and the value of " n " can be visualized with different tones of blue. In this plot we put a dark blue color (almost black) for a fast convergence point (that is a small " n " value), a blue color for a moderately fast one, and sky blue for slow convergence points (which correspond to big " n " values). Finally, the white color is for very slow convergence, or for points where the iterative method does not converge at all.

All this facts can be visualized in the following figure:

               A first observation is that if we increase the "" value, then zones with a deep blue color predominate. This is really obvious taking into account that if we accept a big error for this method, then we need less iterations. The second, and not so obvious observation, is that for "pH0" values greater than 2.69 (the correct pH value, in this case), the iterative method converges, but for several initial values (pH0 less than 2.30) iteration does not converge or is very slow for practical purposes. So, students must be very careful with the initial value, if they decide to use this method.

   · Methods with two initial approximations.

           These methods (Bisection, Secant and Regula Falsi) need two initial values "pH1" and "pH2" in order to start the iterative process (Martínez Luaces, V. 1998).
As a consequence of this fact, we decided to put "pH1" in the " x " axis and "pH2" in the " y " axis.

          As in the other case, we represent the " n " value with different tones of gray (for Bisection Method), bright blue (for Secant Method) and green (for Regula Falsi), to show the speed of convergence for each point (pH1, pH2) (0,14](0,14] The figures are (for an "" of 0.01):

         The figure of Secant Method is the most interesting. The reason is that Bisection and Regula Falsi methods, need initial values with different signs in their functional values. As a consequence of this fact, important parts of the figures (for these last methods) remain uncolored.

         For this reason, we decided to present only the figure corresponding to Secant Method (in black and white), for another "" value (this "" will be 0.04):

       One of them consists in an approximate equation based only in several chemical considerations (Day Jr., R. & Underwood, A., 1980). With this formula, very poor results are obtained for certain weak acids, so it is not the best option.

         For this reason, another method was developed specially for this problem (Martínez Luaces, V., 2001). This last one uses the chemical idea of electro - neutrality (Day Jr., R. & Underwood, A., 1980) in aqueous solutions, and the corresponding algorithm seems like a modification of Bisection Method. It is a very particular iterative method, useful for an analytical chemist, but not very interesting for mathematicians. So, in this paper, this algorithm was used only to confirm the results of the other methods.

3. The Mathematical Education viewpoint:

         Typical courses of Numerical Calculus propose to the students pure mathematical exercises, which are not the best way to motivate the group.
In chemical careers, the situation is even more difficult for teachers (in order to motivate students), at least if we compare with Engineering, Informatics, etc. In fact, it is not easy to find real problems, related with other subjects that can be useful for Numerical Calculus courses.

           Determination of pH in solutions of weak acids, or aqueous solutions of salts, are exactly what we need for this purpose. As we have seen before, they are real-life problems, with important connections with other subjects (as Analytical Chemistry), and they represent an important source of interesting Numerical Calculus problems.

            As can be easily observed, there is no optimal method for this kind of problems. Besides this, results showed a very strong dependence with the initial approximations and with the precision required. Then, students realize that not always real-life problems can be solved in a routinary form. Moreover, in several cases, it is necessary to find a more creative solution.

           These problems, among others, were studied and developed by interdisciplinary groups, integrated with both Analytical Chemistry and Mathematics teachers.
In this first stage, three courses (Numerical Calculus, Statistics and Differential Equations), were based on real problems, strongly related with other disciplines. The other three courses offered by the Mathematics Department (Calculus I, Calculus II and Linear Algebra), remained traditional, at least in this first experiment. So, at present time, all second year courses of our department are in connection with other disciplines, while first year ones will be changed probably next year (this will be the second part of this experiment).

          There are other important differences between first and second year courses. For example, in second year courses, real problems represent more than fifty percent of final examinations.

            Moreover, in several cases, these final examinations can be substituted by project-work, where students try to solve this kind of problems with help of computers or electronic calculators (and, of course, with orientation of teachers).

4. Results and conclusions.

 
               In a previous paper, an expert group was consulted, and almost all the experts remarked the importance of teaching significative concepts and procedures in service courses ((Martínez Luaces, V. & Casella, S., 1996) and (Martínez Luaces, V., 1998)).

From a different point of view, Chemistry students showed an important preference for teachers who make the effort of presenting real-life problems, related with their own careers (Day Jr., R. & Underwood, A., 1980).

             Finally, Cluster Analysis and other Multivariate Statistical methods showed a very similar situation (Gómez, A. & Martínez Luaces, V., to appear). More precisely, in our group of mathematical teachers (that is, twelve teachers of the Mathematics Department at the Chemistry Faculty in Montevideo), the Cluster Analysis of "Applications", separate a group of them as the better ones (this variable "Applications" consists of an !2 vector with the average results of two questions: one of them related with real-life problems and the other one about the connection with other disciplines). This group of five teachers was integrated almost exclusively with teachers of second year courses (Numerical Calculus, Statistics and Differential Equations) and almost all of them participated in interdisciplinary work with teachers and researchers of other departments and laboratories. Moreover, two teachers of this group are researchers in Applied Mathematics.

                From these comments and results, it is obvious that real applications produce positive reactions in Chemistry students, in concordance with experts´ opinion (Martínez Luaces, V., 1998).

             In an important paper of ICMI (ICMI, 1986), this style of teaching, where Mathematics is applied to other disciplines, was considered as "the ideal situation" for mathematical service courses.

             Other aspect, very important to be considered is assessment. The evaluative process must not be dissociated from the style of teaching. So, if we try to teach through problem-solving of reallife situations, in context with other subjects, assessment must be carried out in the same way. This purpose can be put into practice through project-work, where students (with orientation of an interdisciplinary team of teachers) try to solve real problems of their careers, in order to approve their mathematical courses.

             It is important to remark that Analytical Chemistry is an excellent source for this kind of problems. In most cases, they remain almost unexplored in their mathematical richness. Also, this branch of Chemistry provides a good opportunity for interdisciplinary work in research and teaching.

Finally, as it was mentioned before, these problems represent an interesting challenge for applied mathematicians and Mathematical Education researchers.


REFERENCES

- Dahlquist, G. Bjorck, A., Anderson, N., 1974, Numerical Methods . New Jersey: Prentice ­ Hall.
- Day Jr., R.; Underwood, A., 1980, Quantitative Analysis , New Jersey: Prentice-Hall.
- Gómez, A., Martínez Luaces, V., to appear, "Evaluación docente utilizando Análisis Multivariado", in Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 15, R.M. Farfan (ed.), México: CLAME.

- Grillet, P., 1999, Algebra: Pure and Applied Mathematics , New York: Wiley-Interscience.
- ICMI, 1986, "Mathematics as a service subject", L´Enseignement Mathématique 32 , 159-172.
- Kolthoff, I.; Sandell, E., 1943, Textbook of Quantitative Inorganic Analysis , New York: Mac Millan,.
- Labandera, F., Martínez Luaces, V, 1994, "pH de ácidos débiles monopróticos como función de la concentración y del pKa: Un modelo simple y de bajo costo". Anuario Latinoamericano de Química 7, 241 ­ 245. ISSN 0328 ­ 087X
- Martínez Luaces, V., 1998, "Considerations about teachers for Mathematics as a service subject at the university",in Pre-proceedings of the ICMI Study Conference, Singapore: Nanyang Techonological University, pp.196-199.

- Martínez Luaces, V., 1998, "Matemática como asignatura de servicio: algunas conclusiones basadas en una evaluación docente", Números. Revista de didáctica de matemáticas 36 . 65 ­ 67.

- Martínez Luaces, V., 2001, "Enseñanza de matemáticas en carreras químicas desde un enfoque aplicado y motivador". Números. Revista de didáctica de las matemáticas 45 .43-52.

- Martínez Luaces, V.; Casella, S., 1996, "La Educación Matemática en las diferentes ramas de la Ingeniería en el Uruguay hoy" in Memorias del II Taller sobre la Enseñanza de la Matemática para Ingeniería y Arquitectura, Cuba: ISPJAE, pp. 386-391.
- Martínez Luaces, V.; Martínez F., submitted, "La importancia de la visualización en la resolución de problemas de Cálculo Numérico", Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa, XVI, Cuba.

JURNAL PRIBADI

1.                    Pengantar
     Penentuan pH dari satu adalah larutan mengandung air satu sangat penting masalah di dalam Ilmu Kimia Organik.

Dari segi pandangan matematis, adalah masalah kimia ini penyamaan berbentuk model secara aljabar penggunaan. Menjadi satu contoh yang kami punya:

      Di dalam penyamaan ini Ca dan Cb adalah konsentrasi solusi asam dan dasar dan Va, Vb

adalah volume mereka. Lambang KW dan Ka wakili tetapan keseimbangan atas air dan

asam, berturut-turut dan akhirnya[ H +] adalah konsentrasi dari ion hidrogen. Semua ini variabel adalah angka positif dan[ H + ] adalah tidak diketahui unik, kemudian, pH diperoleh seperti kayu balok([ H +]).

           Penyamaan( 1 ) sesuai dengan penentuan pH dari satu lemah monoprotic larutan asam (Luaces Martínez, V., 2001). Seyogyanya, rumus ini dapat mudah terkonversi di dalam satu penyamaan polinomial dari urutan ketiga.

          Kalau kami mempertimbangkan sekarang keadaan lain, sukai cairan dari satu garam mengandung fosfor valensi (antara lain Na2HPO4), kemudian, adalah masalah dihasilkan jauh lebih sulit. Pada kenyataan, dalam hal ini (Luaces Martínez, V. & Martínez, F.,disampaikan), kami punya:

Cs=

             Menjadi di dalam kasus yang lain, Cs adalah konsentrasi dari solusi garam, KW, K1, K2, K3 apakah tetapan keseimbangan dan[ H +] adalah konsentrasi dari ion hidrogen. Di dalam penyamaan ini, menjadi di dalam( 1 ), semua ini variabel adalah angka positif dan[ H +] adalah tidak diketahui. Akhirnya, pH menghargai adalah memperoleh penggunaan penyamaan pH = kayu balok([ H +])

                  Menjadi di dalam kasus yang lain, penyamaan( 2 ) dapat dikonversi di dalam satu polinomial salah satu order ke-lima.

                Ini adalah terkenal, sebagai hasil teori Galois (Grillet, P., 1999), bahwa tidak ada rumus berlandaskan Nth pakukan, berguna untuk menyelesaikan penyamaan polinomial umum dengan lebih besar sebuah gelar atau sama dibandingkan lima. Kemudian, kami memerlukan satu pendekatan kwantitatip untuk menyelesaikan kimia ini dan masalah matematis.

              Di dalam kertas ini, kami akan meneliti beberapa metode numeria dan semua mereka akan dipelajari dari Pendidikan Matematis melihat titik. Ini penting ke berkomentar yang itu yang ini cara dan aplikasi mereka ke masalah kimia telah disebutkan, sediakan satu sumber dari interdisciplinary bekerja di dalam meneliti dan mengajari. Lebih dari itu, keanekaragaman keadaan dan kesempurnaan matematis dan kimia dari mereka, sarankan untuk mempergunakan contoh ini untuk mengajukan pekerjaan proyek atas murid, dengan kemungkinan penarik perhatian.

            Akhirnya, kami akan telaahan beberapa hasil penting memperoleh di dalam tahun terakhir di dalam departemen kami dari Matematika. Mempertimbangkan hasil ini, kami akan mengajukan beberapa kesimpulan dan rekomendasi atas melayani kursus di dalam karier kimia.

2.                 Pendekatan kwantitatip .

             Di dalam bagian ini, kami akan meneliti kegunaan dari beberapa metode numeria: Perkataan Berulang-ulang fungsional, Raphson newton, Pembagian dalam dua bagian, Garis potong dan re gula Falsi (Luaces Martínez, V. 1998). Semua ini cara adalah sangat umum dan terkenal oleh murid.

Menjadi satu pelengkap, kami akan menyebutkan sepasang cara mengembangkan secara khusus atas masalah ini.

· Perkataan Berulang-ulang fungsional:

Satu hak suara pertama mudah adalah untuk meletakkan penyamaan 1 dan / atau 2 di dalam bentuk:

[H+] = - g ([H+])

                   Kemudian, ini kemungkinan untuk menemukan solusi mempergunakan satu metode iterasi titik tetap (Luaces Martínez, V. 1998). Dalam hal ini, kalau Va = 10 ml, Vb = 3 ml, Ca = 0.1 m, Cb = 0.1 m dan Ka = 10 - 3 (KW adalah satu telah tetap, dan adalah nilai nya 10 - 14), kemudian, benar pH akan menjadi 2.69. Sungguh sial, kalau kami mengawali metode iteratif dengan satu pH dari 3 (bahwa adalah, keseluruhan perkiraan terbaik), berikutnya iterant menghendaki adalah 1.81, dan do not sesuatu berikutnya berada! (pH adalah satu angka positif dan di dalam yang ini perkataan berulang-ulang ketiga kami memperoleh kayu balok dari satu angka negatif, dan yang itu keadaan tidak punya rasa kimia).

                  Ini kemungkinan untuk memperlihatkan bahwa keadaan yang sama mengambil tempat atas hampir semua nilai layak dari pH dalam hal ini (Luaces Martínez, V. & Martínez, F., 2002), jadi kami tidak dapat merekomendasikan cara ini. Ini mustahil untuk mempergunakan ini atas masalah ini.

· Raphson newton.

             Kecepatan konvergens atas cara ini menyesuaikan betul-betul dari perkiraan inisial dan ketepatan diperlukan.

            Atas alasan-alasan kimia (Kolthoff, I. & Sandell, E., 1943), pH diberikan dengan hanya dua angka significative, jadi, ketepatan maksimum memerlukan menghendaki adalah 0.01.

           Kecepatan konvergens dapat diukur mempertimbangkan" n ", bahwa adalah angka perkataan berulang-ulang untuk menjangkau pH menghargai dengan satu ketepatan tertentu"".
Mempertimbangkan semua yang ini fakta, kami dapat merencanakan variabel" n " melawan "pH0" (perkiraan inisial) dan"". Kami memutuskan untuk membuat plot di dalam! 2 penaruhan "pH0" di dalam" x " poros dan"" di dalam" y " satu, dan nilai dari" n " dapat diperlihatkan dengan nada berbeda dari biru. Di dalam ini merencanakan kami meletakkan satu warna biru tua (hitam hampir) atas satu konvergens cepat tunjuk (bahwa adalah satu kekecilan" n " nilai), satu warna biru atas satu sedang yang cepat, dan langitkan biru atas konvergens alon-alon tunjuk (yang sesuai dengan besar" n " nilai). Akhirnya, adalah warna putih atas sangat konvergens perlahan-lahan, atau atas menunjuk dimana do not metode iteratif memusat pada semua.

Semua yang ini fakta dapat diperlihatkan di dalam figur berikut:

Satu observasi pertama adalah yang itu kalau kami meningkat"" nilai, kemudian zona dengan satu kebiruan warna dominasi. Ini sungguh jelas nyata mempertimbangkan bahwa kalau kami menerima satu kesalahan besar atas cara ini, kemudian kami memerlukan kurang perkataan berulang-ulang.

               Detik, dan tidak juga observasi jelas nyata, adalah yang itu atas "pH0" lebih besar nilai dibandingkan2.69(benarkan pH hargai, dalam hal ini), metode iteratif pusat, tapi atas beberapa nilai inisial (pH0 kurang dari 2.30) perkataan berulang-ulang tidak memusat atau adalah sangat lambat atas penggunaan praktis. Jadi, murid harus sangat saksama dengan nilai inisial, kalau mereka memutuskan pergunakan yang ini cara.

· Kiatlah dengan dua perkiraan inisial.

               Cara ini (Pembagian dalam dua bagian, Garis potong dan re gula Falsi) perlukan dua nilai inisial "pH1" dan "pH2" agar mengawali iterative berjalan (Luaces Martínez, V. 1998).

            Menjadi satu konsekwensi dari yang ini fakta, kami memutuskan untuk letakkan "pH1" di dalam" x " poros dan "pH2" di dalam" y " poros.

         Menjadi di dalam kasus yang lain, kami mewakili" n " hargai dengan nada berbeda dari beruban (atas Cara Pembagian Dalam Dua Bagian), biru terang (atas Cara Garis Potong) dan hijau (atas re gula Falsi), untuk memperlihatkan kecepatan konvergens atas masing-masing titik (pH1, pH2) (0,14] (0,14] Figur adalah (atas satu"" dari 0.01):

Figur adalah Cara Garis Potong yang paling penarik perhatian. Adalah alasan yang itu Pembagian Dalam Dua Bagian dan re gula Falsi kiat, perlukan nilai awal dengan berbeda mendaftarkan diri nilai fungsional mereka. Menjadi satu konsekwensi dari yang ini fakta, bagian penting dari figur (atas cara terakhir ini) tersisa tidak diwarnai.

             Atas alasan ini, kami memutuskan untuk menyajikan hanya figur sesuai dengan Cara Garis Potong (hitam di atas putih), atas lain"" nilai (ini"" akan menjadi 0.04):
Menjadi di dalam kasus yang lain, zona gelap menjadi lebih besar ketika"" ditingkat.

· Dua cara khusus atas masalah ini.

              Di dalam satu kertas sebelumnya (Luaces Martínez, V., 2001), sepasang cara disajikan agar menentukan pH menghargai untuk tertentu larutan mengandung air.

Salah satu mereka terkandung dalam satu penyamaan dekat mendasari hanyalah di dalam beberapa bahan pertimbangan kimia (Jr. hari, R. & Belukar, A., 1980). Dengan rumus ini, sangat lemah hasil diperoleh untuk tertentu asam lemah, jadi nyabukan hak suara terbaik.

          Atas alasan ini, cara lain dikembangkan secara khusus atas yang ini masalah (Luaces Martínez, V., 2001). Penggunaan sesuatu terakhir ini ide kimia dari kenetralan electro (Jr. hari, R. & Belukar, A., 1980) di dalam larutan mengandung air, dan algoritma sesuai tampak seperti satu modifikasi Cara Pembagian Dalam Dua Bagian. Ini adalah satu sangat metode iteratif tertentu, berguna atas satu analisawan, tapi tidak terlalu penarik perhatian atas ahli ilmu pasti. Jadi, di dalam kertas ini, algoritma ini dipergunakan hanya untuk mengonfirmasikan hasil cara yang lain.

3. Sudut pandang Pendidikan Matematis:

           Kursus khas dengan Kalkulus Kwantitatip mengajukan ke latihan matematis murni murid, yangkah bukan cara terbaik untuk memotivasi group.

            Di dalam karier kimia, adalah keadaan lebih lagi sulit atas guru (agar memotivasi murid), paling tidak kalau kami membandingkan dengan Rancang-bangun, Informatics, dsb. Sesungguhnya, ini tidak mudah untuk menemukan masalah sebenarnya, terkait dengan subyek lain yang itu dapat menjadi berguna atas Kalkulus Kwantitatip berlari.
Penentuan dari pH di dalam solusi dengan asam lemah, atau larutan mengandung air dari garam, persis apa kami perlu atas yang ini penggunaan. Menjadi yang kami telah lihat sebelum, mereka adalah masalah kehidupan nyata, dengan koneksi penting dengan subyek lain (menjadi Ilmu Kimia Organik), dan mereka mewakili satu sumber penting dengan Kalkulus Kwantitatip yang penarik perhatian masalah.

                 Menjadi dapat mudah diamati, ada tiada cara optimal atas ini semacam masalah. Di samping yang ini, hasilkan showed satu sangat ketergantungan kuat dengan perkiraan inisial dan dengan ketepatan diperlukan. Kemudian, murid menyadari bahwa bukan selalu masalah kehidupan nyata dapat diselesaikan di dalam satu routinary bentuk. Lebih dari itu, di dalam beberapa kasus, ini perlu untuk menemukan satu lebih solusi kreatif.

           Masalah ini, antara orang lain, adalah dipelajari dan dikembangkan oleh interdisciplinary golongkan, diintegrasikan dengan berdua Ilmu Kimia Organik dan Guru Pemrograman.

           Di dalam ini langkah pertama, tiga kursus (Kalkulus kwantitatip, Statistik dan Persamaan Diferensial), adalah berlandaskan masalah nyata, betul-betul berhubungan dengan disiplin lain. Yang lain tiga kursus yang ditawarkan oleh Departemen Pemrograman (Saya kalkulus, Kalkulus II. dan Aljabar Linier), tradisional yang tinggal, paling tidak di dalam yang ini percobaan pertama. Jadi, pada waktu sekarang, semua detik tahun kursus dari departemen kami adalah dalam hubungan dengan disiplin lain, sementara tahun pertama satu akan diubah mungkin tahun berikutnya (ini menghendaki adalah detik bagian dari yang ini percobaan).

            Ada perbedaan penting yang lain di antara pertama dan tahun detik kursus. Antara lain, di dalam tahun detik kursus, masalah sebenarnya mewakili lebih dari puluh persen lima dari ujian akhir.

         Lebih dari itu, di dalam beberapa kasus, ujian akhir ini dapat diganti oleh pekerjaan proyek, darimana murid berusaha menyelesaikan yang ini semacam masalah dengan pertolongan dari alat penghitung komputer atau elektronik (dan, tentu, dengan orientasi dari guru).

4. Hasil dan kesimpulan.

Di dalam satu kertas sebelumnya, satu group pakar berkonsultasi, dan hampir semua pakar re_ menandai kepentingan pengajaran konsep significative dan prosedur di dalam melayani kursus( (Luaces Martínez, V. & Casella, S., 1996) dan (Luaces Martínez, V., 1998)).

Dari satu segi pandangan berbeda, Murid ilmu kimia showed satu pilihan penting atas guru yang membuat upaya penampilan kehidupan nyata masalah, terkait dengan karier mereka sendiri (Jr. hari, R. & Belukar, A., 1980).

          Akhirnya, Analisa gugus dan Metode Statistik Multivariate lain showed satu sangat keadaan serupa (Gómez, A. & Luaces Martínez, V., untuk tampak). Lebih secara tepat, di dalam group kami dari guru matematis (bahwa adalah, duabelas guru dari Departemen Pemrograman pada Fakultas Ilmu Kimia di dalam Montevideo), Analisa Gugus dari "Aplikasi", pisahkan sekelompok tentang mereka sebagai yang lebih baik sesuatu (variabel ini "Aplikasi" terdiri dari satu! 2 vektor dengan hasil rata-rata dari dua pertanyaan: salah satu mereka berhubungan dengan masalah kehidupan nyata dan sesuatu yang lain sekitar koneksi dengan disiplin lain). Group ini dari lima guru diintegrasikan nyaris khususnya dengan guru dari tahun detik kursus (Kalkulus kwantitatip, Statistik dan Persamaan Diferensial) dan hampir semua mereka berpartisipasi di dalam interdisciplinary bekerja dengan guru dan peneliti dengan departemen lain dan laboratori. Lebih dari itu, dua guru dari yang ini group adalah peneliti di dalam Matematika Teraplikasi.

           Dari komentar ini dan hasil, ini adalah jelas nyata yang itu aplikasi nyata menghasilkan reaksi positif di dalam murid Ilmu Kimia, di dalam persetujuan dengan pakar pendapat s' (Luaces Martínez, V., 1998).

         Di dalam satu kertas penting dari ICMI (ICMI, 1986), gaya ini dari pengajaran, darimana Matematika berlaku bagi disiplin lain, dipertimbangkan seperti "keadaan ideal" atas jasa matematis berlari.

         Aspek lain, sangat penting dipertimbangkan penilaian adalah. Proses evaluatif tidak boleh dipisahkan dari gaya pengajaran. Jadi, kalau kami berusaha mengajari melalui pemecahan masalah dari keadaan re allife, di dalam hubungan kalimat dengan subyek lain, penilaian harus diselesaikan di dalam cara yang sama. Penggunaan ini dapat diletakkan ke dalam mempraktekkan melalui proyek pekerjaan, darimana murid (dengan orientasi dari satu pasukan interdisciplinary dari guru) berusaha menyelesaikan masalah nyata dari karier mereka, agar menyetujui kursus matematis mereka.

 
         Ini penting ke berkomentar yang itu adalah Ilmu Kimia Organik satu sumber sempurna atas ini semacam masalah. Dalam banyak kasus, mereka tersisa hampir belum diselidiki di dalam kesempurnaan matematis mereka. Serta, cabang ini dari Ilmu Kimia menyediakan satu kesempatan bajik atas interdisciplinary bekerja di dalam meneliti dan mengajari.
Akhirnya, menjadi ini disebutkan sebelum, masalah ini mewakili satu tantangan penarik perhatian atas ahli ilmu pasti teraplikasi dan peneliti Pendidikan Matematis.